Universo de Grothendieck

Na teoria dos conjuntos, pelo menos com os axiomas de Zermelo-Fraenkel, é contraditória a existência de um conjunto incluindo todos os conjuntos. O conceito de universo de Grothendieck (de Alexander Grothendieck, matemático alemão) permite considerar conjuntos que, apesar de não incluírem todos os conjuntos, são suficientemente grandes para permitir certas operações matemáticas.

Definição

Um universo de Grothendieck é um conjunto $U$ com as propriedades:

Se $x$ é um elemento de $U$ e $y$ é um elemento de $x$ , então $y$ é um elemento de $U$ (isto é, $U$ é um conjunto transitivo.)
Se $x$ e $y$ são elementos de $U$ , então o conjunto ${x, y}$ é um elemento de $U$ .
Se $x$ é um elemento de $U$ , então o conjunto das partes $P(x)$ é um elemento de $U$ .
Se $I$ (um conjunto de índices) é um elemento de $U$ , e, para cada $i \in I$ , há um elemento $x i \in U$ , a união $⋃ i \in I x i$ pertence a $U$ .

Com essas regras, os universos de Grothendieck mais simples serão o conjunto vazio, e conjunto dos conjuntos hereditariamente finitos (isto é, os conjuntos que podem ser descritos usando uma quantidade finita dos símbolos " $\emptyset$ ", " ${ }$ " e vírgula).^[1] Para eliminar esses casos triviais, alguns autores exigem que o conjunto $ℕ = {\emptyset, {\emptyset}, {\emptyset, {\emptyset}}, \dots}$ dos ordinais finitos pertença a $U$ .^[2]

O axioma de universos diz que, para todo conjunto $x$ , existe universo de Grothendieck $U$ tal que $x \in U$ .^[3]

Propriedades

Cada universo de Grothendieck $U$ também satisfaz:

Se $x, y \in U$ , a dupla $(x, y)$ (definida na teoria de conjuntos como ${{x}, {x, y}}$ ) pertence a $U$ .
Se $x \in U$ e $y \subseteq x$ , $y \in U$ .
Se $X \in U$ e $Y \in U$ , $X \times Y \in U$ .^[1]

Cada universo de Grothendieck incluindo $ℕ$ é um ∈-modelo para os axiomas de Zermelo-Fraenkel, de modo que sua existência não pode ser demonstrada por estes axiomas.^[2]

Referências

↑ ^a ^b (SGA4-1, §II, apêndice)
↑ ^a ^b (Grothendieck universe – Nlab)
↑ (SGA4-1, §I.0)

Bibliografia

GROTHENDIECK, Alexander; ARTIN, Michel; VERDIER, Jean-Louis; BOURBAKI, Nicolas; et al. (1969). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie (SGA). [S.l.: s.n.] . Disponível em web.archive.org/web/20120114070702/http://library.msri.org/books/sga/sga/pdf/index.html e agrothendieck.github.io/SGAEGAFGA.html.
«Grothendieck universe – Nlab». Consultado em 8 de fevereiro de 2020

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[sgaapend-1] (SGA4-1, §II, apêndice)

[nlab-2] (Grothendieck universe – Nlab)

[groth-3] (SGA4-1, §I.0)

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[2]

[3]